PIOTR SZEWCZAK

Grant Etiuda , Narodowe Centrum Nauki
Projekt: GO-przestrzenie i parazwartość w iloczynach kartezjańskich

Konkurs Etiuda na stypendia doktorskie jest adresowany do osób rozpoczynających karierę naukową, które nie posiadają stopnia naukowego doktora i mają wszczęty przewód doktorski. Stypendium trwa do 12 miesięcy i w jego skład wchodzi zagraniczny staż naukowy trwający do 6 miesięcy.
W 2014 roku, w ramach drugiej edycji konkursu, mój projekt z topologii znalazł się wśród 35 nagrodzonych przez Narodowe Centrum Nauki w zakresie nauk ścisłych i technicznych. Półroczny staż naukowy odbyłem w Uniwersytecie Bar-Ilan w Izraelu pod opieką prof. Boaza Tsabana - uznanego światowego specjalisty z dziedziny aksjomatów selekcji i kombinatoryki nieskończonej.

o projekcie i jego wynikach - w skrócie

Parazwartość jest jedną z podstawowych własności topologicznych, będącą wspólnym uogólnieniem dla zwartości i metryzowalności. Ponieważ iloczyn kartezjański dwóch przestrzeni parazwartych nie musi być parazwarty, pojawił się problem, aby scharakteryzować klasę przestrzeni produktowalnie parazwartych, tzn. takich, których iloczyn kartezjański z dowolną przestrzenią parazwartą jest parazwarty. Problem ten jest klasycznym problemem topologii ogólnej.
W 1975 roku Ratislav Telgarsky zdefiniował nieskończoną grę topologiczną, w której udział bierze dwóch graczy, i udowodnił, że jeśli pierwszy gracz posiada strategię zwycięską w tej grze rozgrywanej na przestrzeni parazwartej $X$, to $X$ jest produktowalnie parazwarta. W 2009 roku została postawiona przez Kazimierza Alstera hipoteza, że przestrzeń parazwarta $X$ jest produktowalnie parazwarta wtedy i tylko wtedy, gdy pierwszy gracz ma strategię zwycięską w grze Telgarsky'ego rozgrywanej na $X$.
Przed realizacją projektu charakteryzacja przestrzeni produktowalnie parazwartych była znana jedynie dla przestrzeni metrycznych, domkniętych obrazów przestrzeni metrycznych oraz bardzo szczególnych przypadków przestrzeni ciężaru nieprzekraczającego $\omega_1$. W wymienionych tu przypadkach powyższa hipoteza jest prawdziwa.
Badania polegają na tym, że dla danej przestrzeni produktowalnie parazwartej $X$ definiuje się tzw. przestrzeń testującą $Y$, a następnie z parazwartoćsi iloczynu $X\times Y$ wnioskuje się wewnętrzne cechy przestrzeni $X$. Konstrukcje przestrzeni testujących opierają się na kontrprzykładach dla parazwartości w iloczynach. Najważniejszymi z nich są przykłady GO-przestrzeni - przestrzeni liniowo uprządkowanych z topologią generowaną przez przedziały. Z uwagi na skalę trudności zasadnym było podjęcie nowego kierunku przez ograniczenie badań do klas związanych z GO-przestrzeniami. Celem projektu była charakteryzacja przestrzeni produktowalnie parazwartych w zakresie GO-przestrzeni i domkniętych obrazów GO-przestrzeni oraz zbadanie innych własności pokryciowych w iloczynach.

Przykłady możliwych otoczeń punktów w GO-przestrzeniach

Badania projektu potwierdziły prawdziwość hipotezy dla GO-przestrzeni spełniających pierwszy aksjomat przeliczalności, GO-przestrzeni ciężaru nieprzekraczającego $\omega_1$, domkniętych obrazów GO-przestrzeni określonych na prostej rzeczywistej i pewnych domkniętych obrazów GO-przestrzeni określonych na podzbiorach prostej. Po raz pierwszy ustalono związek między przestrzeniami produktowalnie parazwartymi a teorią aksjomatów selekcji. Teoria ta zajmuje się własnościami pokryciowymi, w tym wymienionymi niżej własnościami Hurewicza i Mengera. Wykazano, że każda przestrzeń ośrodkowa produktowalnie parazwarta ma własność Hurewicza - silną własność topologiczną będącą uogólnieniem $\sigma$-zwartości.

Prosty przykład domkniętego obrazu GO-przestrzeni

Wyniki projektu uzupełniają krótką listę twierdzeń dotyczących przestrzeni produktowalnie parazwartych znanych wcześniej i są istotnym wkładem w rozwiązanie problemu. Dają nam lepsze rozumienie, jak parazwartość zachowuje się przy produktowaniu. Rezultaty dla domkniętych obrazów GO-przestrzeni otwierają pole do dalszych badań.

Staż zagraniczny

Podczas stażu naukowego, we wspólnych badaniach z prof. Tsabanem, skupiliśmy się na innych niż parazwartość własnościach pokryciowych w iloczynach. Przestrzeń $X$ ma własność Mengera, jeżeli dla dowolnego ciągu jej pokryć otwartych $\mathcal{O}_1, \mathcal{O}_2, \ldots$ istnieją zbiory skończone $\mathcal{F}_1\subset\mathcal{O}_1,\mathcal{F}_2\subset \mathcal{O}_2, \ldots$ takie, że rodzina jest pokryciem przestrzeni $X$.

Schemat własności Mengera

Pytanie, czy w ZFC istnieje zbiór Mengera $M\subset\mathbb{R}$, którego kwadrat $M\times M$ nie ma własności Mengera, jest jednym z najważniejszych problemów dotyczącym aksjomatów selekcji w iloczynach. W ramach projektu uzyskano częściowe rozwiązanie - przy bardzo ogólnym założeniu teoriomnogościowych taki zbiór istnieje. Użyte tu założenie jest istotnie słabsze od stosowanych wcześniej i jest ono spełnione w najważniejszych modelach teorii mnogości: Martina, Cohena, Randoma, Sacksa, Hechlera, Lavera i Mathiasa. Nowa, kombinatoryczna konstrukcja dowodowa wyróżnia się na tle dotychczas stosowanych narzędzi i znajduje ona szereg zastosowań dla innych aksjomatów selekcji.
Staż zagraniczny odegrał bardzo istotną rolę w rozwoju moich umiejętności badawczych. Wdrożenie się w tematykę aksjomatów selekcji otworzyło nowe możliwości podejmowanych badań w dalszym moim rozwoju naukowym. Podjąłem również ścisłą współpracę z prof. Boazem Tsabanem, która obecnie jest realizowana w ramach rocznego stypendium podoktorskiego Kolmana-Sorefa przyznanego mi przez Uniwersytet Bar-Ilan na podstawie wyników grantu Etiuda.

Popularyzacja wyników

Wyniki projektu były prezentowane na międzynarodowych konferencjach topologicznych w Czechach, Irlandii i Włoszech, gdzie zostały przyjęte z dużym zainteresowaniem. Były również dyskutowane na seminariach badawczych w Polsce i w Izraelu. Rezultaty te zostały ujęte w trzech artykułach złożonych do publikacji w czasopismach z listy filadelfijskiej.